Question

已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若(为坐标原点)，求的值；
(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2））
（3）故的面积存在最大值.

试题分析：解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，
故圆与轴交与两点，. 1分
所以，在椭圆中或，又，
所以，或 (舍去，∵), …于是，椭圆的方程为. 4分
(2)设，；直线与椭圆方程联立,
化简并整理得.
∴，,
∴，
.    6分
∵，∴,即得 
∴，，即为定值.     8分
(3)∵，,    
∴直线的方程为
令，则
,
∴解法一：
    13分
当且仅当即时等号成立. 故的面积存在最大值.…
(或: ,
令，    
则
当且仅当时等号成立，此时故的面积存在最大值.…
点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。