Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.

Answer 1

（1）
（2）时，有最小值.

试题分析：解：（Ⅰ）设方程为，抛物线的焦点为，
则.
双曲线的离心率  所以，得
∴椭圆C的方程为.                 4分
（Ⅱ）设直线的方程为，由对称性不妨设
由消得：    6分
依题意，得： 8分
由，令，得，即
 10分（用表示一样给分）

当且仅当即时取等号.                      12分
因为故时，有最小值.           13分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。