Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，，．

(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；

(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).

【解析】

（Ⅰ）推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．

（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．

解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得

，

∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，

又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，

又，∴CD⊥平面PCA.

又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.

(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

则，，，，.

设，，

则

∴x=0，，，即点E的坐标为

∴

又平面ABCD的一个法向量为

∴sin45°

解得

∴点E的坐标为，∴，，

设平面EAB的法向量为

由得

令z=1，得平面EAB的一个法向量为

∴.

又二面角E-AB-D的平面角为锐角，

所以，二面角E-AB-D的余弦值为