题目内容
【题目】如图，在几何体
中，平面
平面
，四边形
为菱形，且
， 
， 
， 
为
中点.
（1）求证： 
平面
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）取
中点
，连结
，推导出四边形
为平行四边形．从而
.进而
平面
，由此能证明平面
平面
.，从而
平面
.
（Ⅱ）取
中点
，连结
.以
为原点， 
为
轴建立空间直角坐标系
，利用向量法能求出二面角
的平面角的正弦值.．
试题解析：
（1）证明：取
中点
，连结
，因为
分别为
中点，所以
.
又
平面
，且
平面
，所以
平面
，因为
， 
，所以
， 
.所以四边形
为平行四边形.
所以
.又
平面
且
平面
，
所以
平面
，又
，所以平面
平面
.
又
平面
，所以
平面
.
（2）解：取
中点
，连结
.因为
，所以
.
因为平面
平面
，所以
平面
， 
.
因为
， 
，所以
为等边三角形.
因为
为
中点，所以
.因为
两两垂直，设
，
以
为原点， 
为
轴，如图建立空间直角坐标系
由题意得， 
， 
， 
， 
， 
， 
.
， 
， 
， 
设平面
的法向量为
则
，即
令
，则
， 
所以
.
设平面
的法向量为
则
，即
令
，则
， 
所以
.
∴
∴二面角
平面角的正弦值为
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