Question

对于任意实数k，方程（k²+1）x²-2（a+k）²x+k²+4k+b=0总有一个根是1，试求实数a，b的值及另一个根的范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，4k（1-a）+b-2a²=0 对对于任意实数k恒成立，可得1-a=0，求得a的值，可得b的值，即（x-1）[（k²+1）x-（k²+4k+1）]=0，可得另一个实数根为

k2+4k+1

k2+1

=1+

4k

k2+1

．再利用基本不等式求得另一个根的范围．

解答： 解：由题意可得对于任意实数k，（k²+1）-2（a+k）² +k²+4k+b=0，
即 4k（1-a）+1+b-2a²=0 对对于任意实数k恒成立，∴1-a=0，即a=1，
故有b=1，方程即：（k²+1）x²-2（1+k）²x+k²+4k+1=0，
即（x-1）[（k²+1）x-（k²+4k+1）]=0，
故另一个实数根为

k2+4k+1

k2+1

=1+

4k

k2+1

．
∵k²+1≥2|k|，∴

k2+4k+1

k2+1

∈[-

1

2

，

1

2

]，
故方程的另一个根的范围是[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．