Question

已知函数f（x）=ax²-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；
（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2，3}中任一元素
∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．
当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）
即A包含的基本事件数为3．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=

3

16

；
（2）∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，
其面积S_M=6-

1

2

×2×2=4，
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）=

S  M

SΩ

=

4

6

=

2

3

．