Question

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若m=1，且，求k的值（O点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件可知解得．由a²=b²+c²，得b=1．由此可得到椭圆方程．

（Ⅱ）由题意知y=kx+1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0，由△＞0可知．再由能够推导出k的值
（Ⅲ）由已知，可得．将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．然后根据根的判别式和根与系数的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），依题意解得．
由a²=b²+c²，得b=1．
∴所求椭圆方程为

（Ⅱ）∵m=1，∴y=kx+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程消去y并整理得（1+3k²）x²+6kx=0&，
则△=（6k）²-4（1+3k²）×0＞0&，解得k≠0．
故．
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=∴．
（Ⅲ）由已知，可得．
将y=kx+m代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0（*）
∴．
∴
=
=．
当且仅当，即时等号成立．
经检验，满足（*）式．
当k=0时，．
综上可知|AB|_max=2．∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值．
点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要综合运用椭圆的性质，需要熟练地掌握公式的灵活运用．