题目内容
如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC的中点．
（1）当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B1 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）
（1）当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B1 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）
分析：（1）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P．由线面平行的判定定理证明即可
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够推导出当DP=
时，二面角P-MN-B1 为直二面角．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况即可．
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够推导出当DP=
| 3 |
| 8 |
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况即可．
解答：解：（1）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P …（1分）
证明如下：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1∥CC1
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A1C1
又∵MN?面A1C1P，A1C1?平面A1C1P，
∴MN∥平面A1C1P，…（4分）
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，
，0），N（
，1，0），B1（1，1，1），P（0，0，t），
∴
=（-
，
，0），
=（0，
，1），
=（-1，-
，t），
设平面MNB1的法向量为
=（x，y，z），则
•
=0，
•
=0，
∴
，解得
=（2，2，-1）．
设平面MNP的法向量为
=(x1，y1，z1)，则
•
=0，
•
=0，
∴
，解得
=（1，1，
t），
∵二面角P-MN-B1 为直二面角，
∴
•
=2+2-
t=0，解得t=
．
故当DP=
时，二面角P-MN-B1 为直二面角．…（9分）
（3）符合条件的表面展开图还有5个，如图，正确画出一个得（1分）…（13分）
证明如下：
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=CC1，AA1∥CC1
∴四边形AA1C1C是平行四边形，
∴AC∥A1C1
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A1C1
又∵MN?面A1C1P，A1C1?平面A1C1P，
∴MN∥平面A1C1P，…（4分）
（2）设DP=t，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| MN |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| MB1 |
| 1 |
| 2 |
| MP |
| 1 |
| 2 |
设平面MNB1的法向量为
| m |
| MN |
| m |
| MB1 |
| m |
∴
|
| m |
设平面MNP的法向量为
| n |
| MN |
| n |
| MP |
| n |
∴
|
| n |
| 3 |
| 2 |
∵二面角P-MN-B1 为直二面角，
∴
| m |
| n |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
故当DP=
| 3 |
| 8 |
（3）符合条件的表面展开图还有5个，如图，正确画出一个得（1分）…（13分）
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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