题目内容
如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．
分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，
则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）
所以M(a，a，
)．
（Ⅰ）：
=(a，a，-
) ，
=(-2a，2a，0)
•
=a•(-2a)+a•2a+0=0．
∴
⊥
，即DM⊥EB．
（Ⅱ）设平面MBD的法向量为
=(x，y，z)，
=(0，2a，-2a)，
由
⊥
，
⊥
，得
?
取z=2得平面MBD的一非零法向量为
=(1，2，2)，
又平面BDA的一个法向量
=(1，0，0)．
∴cos＜
，
＞ =
=
，即cosβ=
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，
则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）
所以M(a，a，
| a |
| 2 |
（Ⅰ）：
| DM |
| 3a |
| 2 |
| EB |
| DM |
| EB |
∴
| DM |
| EB |
（Ⅱ）设平面MBD的法向量为
| n |
| DB |
由
| n |
| DB |
| n |
| DM |
|
|
取z=2得平面MBD的一非零法向量为
| n |
又平面BDA的一个法向量
| n1 |
∴cos＜
| n |
| n1 |
| 1+0+0 | ||||
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
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