Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求点D到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）设A₁A=h，根据VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1求得h，则A₁A的长可得．
（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D，A₁，B，C₁坐标可知，设平面A₁BC₁的法向量，根据

n

⊥

A1B

，

n

⊥

C1B

求得

A1B

和

C1B

，联立方程组求得v和u，取w=2，得平面的一个法向量．在平面A₁BC₁上取点可得向量

DC1

，进而求得点D到平面A₁BC₁的距离

解答：解：（1）设A₁A=h，由题设VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，
解得h=3．
故A₁A的长为3．
（2）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知及（1），可知D（0，0，0），A₁（2，0，3），B（2，2，0），C₁（0，2，3），
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(u，v，w)，有

n

⊥

A1B

，

n

⊥

C1B

，
其中

A1B

=(0，2，-3)，

C1B

=(2，0，-3)，
则有

n • A1B =0 n • C1B =0

即

2v-3w=0 2u-3w=0.

解得v=

3

2

w，u=

3

2

w，
取w=2，得平面的一个法向量

n

=(3，3，2)，且|

n

|=

22

．
在平面A₁BC₁上取点C₁，可得向量

DC1

=（0，2，3）
于是点D到平面A₁BC₁的距离d=

| n • DC1 |

| n |

=

6 22

11

．

点评：本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．