Question

在如图所示的几何体中．EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求直线DE与平面EMC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明面AEDB⊥面ABC，再证明CM⊥AB，利用面面垂直的性质可得CM⊥面AEDB，从而可得CM⊥EM
（Ⅱ）证明CM⊥DM，EM⊥MD，从而可得DE与平面EMC所成的角为∠DEM，即可求直线DE与平面EMC所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：因为AE⊥面ABC，BD⊥面ABC，所以AE∥DB，且面AEDB⊥面ABC，
又因为AC⊥BC且AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，直角为∠ACB，
因为M是AB的中点，所以CM⊥AB，
又因为面AEDB⊥面ABC，面AEDB∩面ABC=AB，所以CM⊥面AEDB
因为EM?面AEDB，所以CM⊥EM
（Ⅱ）解：因为CM⊥面AEDB，DM?面AEDB，所以CM⊥DM，
因为M为AB中点，设AC=BC=BD=2AE=2a，所以EM=

3

a、MD=

6

a、ED=3a，所以ED²=EM²+MD²，
即△EMD为直角三角形，所以EM⊥MD，
又因为CM⊥DM，EM∩CM=M，所以出DM⊥面EMC，则DE与平面EMC所成的角为∠DEM，
所以tan∠DEM=

DM

EM

=

2

．

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是正确运用面面垂直的性质，正确作出线面角，属于中档题．