Question

求函数y=(

1

2

)1+2x-x2的值域和单调区间．

Answer 1

分析：（1）令t=1+2x-x²，则y=(

1

2

)t，而t=-（x-1）²+2≤2，利用指数函数的单调性求得函数y的值域．
（2）函数y=(

1

2

)1+2x-x2=(

1

2

)t，求得二次函数t的增区间，即为函数y的减区间；求得二次函数t的减区间，即为函数y的增区间．

解答：解：（1）令t=1+2x-x²，则y=(

1

2

)t，而t=-（x-1）²+2≤2，
所以，y=(

1

2

)t≥(

1

2

)2=

1

4

，故所求的函数的值域是[4，+∞）．
（2）函数y=(

1

2

)1+2x-x2=(

1

2

)t，由于二次函数t的对称轴为 x=1，
可得函数t在（-∞，1]上是增函数，函数y在（-∞，1]上是减函数，故函数y的减区间为（-∞，1]．
函数t在（1，+∞）上是减函数，函数y在（1，+∞）是增函数，故函数y的增区间为（1，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．