Question

已知函数f（x）=2（

1

2

-

1

ax+1

）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式y=f（x）中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
（2）欲判定f^-1（x）的奇偶性，只须看看f^-1（x）与f^-1（-x）的关系即可；
（3）欲解log_a

1+x

1-x

＞1，先对a进行分类讨论，结合对数函数的单调性去掉对数符号转化为分式不等式求解即可．

解答：解：（1）化简，得f（x）=

ax-1

ax+1

．
设y=

ax-1

ax+1

，则a^x=

1+y

1-y

．
∴x=log_a

1+y

1-y

．
∴所求反函数为
y=f^-1（x）=log_a

1+x

1-x

（-1＜x＜1）．
（2）∵f^-1（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

）^-1=-log_a

1+x

1-x

=-f^-1（x），
∴f^-1（x）是奇函数．
（3）log_a

1+x

1-x

＞1．
当a＞1时，
原不等式?

1+x

1-x

＞a?

(1+a)x+1-a

x-1

＜0．
∴

a-1

a+1

＜x＜1．
当0＜a＜1时，原不等式

1+x 1-x ＜a 1+x 1-x ＞0

解得

x＜ a-1 1+a 或x＞1 -1＜x＜1.

∴-1＜x＜

a-1

1+a

．
综上，当a＞1时，所求不等式的解集为（

a-1

a+1

，1）；
当0＜a＜1时，所求不等式的解集为（-1，

a-1

a+1

）．

点评：本题主要考查了反函数、函数奇偶性的判断、对数函数的性质及分类讨论的数学思想等，属于中档题．