Question

已知函数（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求cos2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为，由此求得周期，令（k∈Z），求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）解法一：由已知得，平方可得，再根据，利用同角三角函数的基本关系求出cos2x的值．
解法二：由已知得，根据角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出的值，由，再利用二倍角公式运算求出结果．
解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin²x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期．…（5分）
令（k∈Z），…（6分）
可得 ，
即 ，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得，…（9分） 
 两边平方，可得 ，
所以，． …（11分） 
因为，所以，
所以，．…（13分）
解法二：因为，
所以．…（9分）
又因为，
解得 ．…（10分）
所以，．…（11分）
所以，
=．…（13分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．