Question

已知P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，则

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值为

2

a

．

Answer 1

分析：利用椭圆的定义及基本不等式，可得|PF1||PF2|≤a2（当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时，等号成立），再利用基本不等式，即可求

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值．

解答：解：由题意，|PF₁|+|PF₂|=2a，则
∵|PF1|+|PF2|≥2

|PF1||PF2|

∴|PF1||PF2|≤a2（当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时，等号成立）
∴

1

|PF1|

+

1

|PF2|

≥2

1 |PF1| • 1 |PF2|

≥

2

a

（当且仅当|PF₁|=|PF₂|=a时，等号成立）
∴

1

|PF1|

+

1

|PF2|

的最小值为

2

a

故答案为：

2

a

点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．