Question

已知P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上异于长轴端点A、B的任意点，若直线PA、PB的斜率乘积k_PA•k_PB=-

2

3

，则该椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  6

  6

• C．

  1

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根据A，B连线经过坐标原点，可得A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．

解答：解：∵A，B连线经过坐标原点，∴A，B一定关于原点对称，
设A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y）
∴k_PA•k_PB=

y1-y

x1-x

×

-y1-y

-x1-x

=

y2- y 2 1

x2- x 2 1

∵

x 2

a2

+

y 2

b2

=1，

x12

a2

+

y12

b2

=1，
∴两方程相减可得

y2- y 2 1

x2- x 2 1

=-

b2

a2

∵k_PA•k_PB=-

2

3

，
∴-

b2

a2

=-

2

3

∴

b2

a2

=

2

3

∴

a2-c2

a2

=

2

3

，

c

a

=

3

3

∴e=

3

3

．
故选A．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意椭圆几何量之间的关系．