Question

对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值，求m的范围（　　）

• A．-

  37

  3

  ＜m＜-5
• B．-

  37

  3

  ＜m＜-9
• C．-9＜m＜-5
• D．-9＜m＜0

Answer 1

分析：首先求出原函数的导函数，函数在区间（t，3）上总存在极值，说明其导函数值在该区间内有正有负，求出的导函数是二次函数，对应的图象开口向上，且两根之积小于0，说明导函数的一个零点是负值，只要让另一个零点在区间（t，3）内即可，列式后再通过函数的单调性求m的范围，最后取交集．

解答：解：由函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，得：f^′（x）=3x²+（4+m）x-2．
要使对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值，
说明导函数f^′（x）的值在（t，3）上有正有负，
因为二次函数f^′（x）=3x²+（4+m）x-2的图象开口向上，且横过定点（0，-2），
所以，只需

f′(t)＜0 f′(3)＞0

，即

3t2+(4+m)t-2＜0① 27+3(4+m)-2＞0②

，
由①得：m＜-3t+

2

t

-4（1≤t≤2）．而(-3t+

2

t

-4)min=-3×2+

2

2

-4=-9．
所以，m＜-9．
由②得：m＞-

37

3

．
所以，使得对于任意的t∈[1，2]，函数f(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x在区间（t，3）上总存在极值的m的范围是-

37

3

＜m＜-9．
故选B．

点评：本题考查了函数在某点取极值的条件，考查了二次函数的图象与零点的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．