Question

21．已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

   （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

  

 （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

21.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y)

由P(x,y)在椭圆上，得

由x≥－a，知，

所以

证法二：设点P的坐标为(x,y)记

则

由r₁+r₂=2a,

证法三：设点P的坐标为(x,y)椭圆的左准线方程为

由椭圆第二定义得，即

       由x≥－a，知，所以

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y)

           当||=0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|时，由，得.又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，

所以有x²+y²=a².

综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=a².

解法二：设点T的坐标为(x,y)，当时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

       当时，

由，得.

       又，所以T为线段F₂Q的中点.

       设点Q的坐标为（x’，y’），则

       因此                          ①

       由得        ②

       将①代入②，可得x²+y²=a².

       综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=a².

   （Ⅲ）C上存在点M（x₀，y₀）使S=b²的充要条件是

    

       由③得|y₀|≤a，由④得  所以，当时，存在点M，使S=b²；

       当时，不存在满足条件的点M.

       当时，

，

       由，

       ，

，

得tan∠F₁MF₂=2.