Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D-xyz，且MN是AB₁与BC₁的公垂线，M在AB₁上，N在BC₁上，则

MN

等于（　　）

• A．(1，

  2

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．(

  2

  3

  ，1，

  1

  3

  )
• C．(-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ，-

  1

  3

  )
• D．(

  1

  3

  ，-

  1

  3

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．可得

AB1

，

BC1

．由于点M在AB₁上，N在BC₁上．可设

AM

=λ

AB1

，

BN

=μ

BC1

．于是点M，N的坐标可用λ，μ表示．由公垂线可得

MN

⊥

AB1

，

MN

⊥

BC1

．再利用数量积与垂直的关系即可得出．

解答：解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）．
∴

AB1

=（0，1，1），

BC1

=（-1，0，1）．
∵点M在AB₁上，N在BC₁上．
∴可设

AM

=λ

AB1

，

BN

=μ

BC1

．
∴

OM

=

OA

+λ(0，1，1)=（1，λ，λ）．

ON

=

OB

+μ(-1，0，1)=（1-μ，1，μ）．
∴

MN

=（-μ，1-λ，μ-λ）．
∵

MN

⊥

AB1

，

MN

⊥

BC1

．
∴

1-λ+μ-λ=0 μ+μ-λ=0

，解得λ=

2

3

，μ=

1

3

．
∴

MN

=(-

1

3

，

1

3

，-

1

3

)．
故选C．

点评：熟练掌握向量共线定理、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．