Question

3．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{5}$，sin²B+cos2C=1，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简已知的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；
（2）由二倍角余弦公式的变形化简sin²B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．

解答 解：（1）因为sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）-cos（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA-（$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化简得cosA=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜A＜π，则A=$\frac{3π}{4}$；
（2）因为sin²B+cos2C=1，所以sin²B+1-2sin²C=1，
即sin²B=2sin²C，
由正弦定理得，b²=2c²，则b=$\sqrt{2}$c，
又a=$\sqrt{5}$，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则5=2c²+c²-2$\sqrt{2}$c²×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，解得c=1，
则b=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，诱导公式，两角差的正弦、余弦函数，以及二倍角余弦公式的变形的应用，考查转化思想、方程思想，化简、变形能力．