Question

（本小题满分14分）

设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．

（1）求角A的大小；

（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC＝2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．

Answer 1

（1）（2）α＝时，PM＋PN取得最大值2．

【解析】

试题分析：（1）解三角形，就是利用正余弦定理将边角统一，本题求角，应利用正弦定理将边化为角：sinAcosA＝sinBcosB，再根据二倍角公式及诱导公式求角：sin2A＝sin2B， A＝B或A＋B＝．因为C＝，所以A＝B，A＝．（2）求PM＋PN的最大值，首先建立函数关系式，取自变量为角：PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).再根据基本三角函数求其最值：因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，因此当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2．

试题解析：（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以有A＝B或A＋B＝． 2分

又因为C＝，得A＋B＝，与A＋B＝矛盾，所以A＝B，

因此A＝． 4分

（2）由题设，得

在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；

在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)

＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，). 6分

所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋). 10分

因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，从而有sin(α＋)∈(，1]，

即2sin(α＋)∈(，2]．

于是，当α＋＝，即α＝时，PM＋PN取得最大值2． 14分

考点：正弦定理，三角函数性质