Question

14．已知x，y为正数，且x+$\frac{1}{x}$+3y+$\frac{3}{y}$=10，则x+3y的最大值为8．

Answer 1

分析 又x+$\frac{1}{x}$+3y+$\frac{3}{y}$=10，可得（x+3y）²-10（x+3y）+10+$\frac{3y}{x}$+$\frac{3x}{y}$=0，利用基本不等式，可得（x+3y）²-10（x+3y）+16≤0，即可得出结论．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$+3y+$\frac{3}{y}$=10，
∴（x+3y）（x+$\frac{1}{x}$+3y+$\frac{3}{y}$）=10（x+3y），
∴（x+3y）²-10（x+3y）+10+$\frac{3y}{x}$+$\frac{3x}{y}$=0，
∵$\frac{3y}{x}$+$\frac{3x}{y}$≥6（$\frac{3y}{x}$=$\frac{3x}{y}$，即x=y时取等号）
∴（x+3y）²-10（x+3y）+16≤0，
∴2≤x+3y≤8，
∴x+3y的最大值为8，此时x=y=2．
故答案为：8．

点评 本题考查求x+3y的最大值，考查基本不等式的运用，转化为（x+3y）²-10（x+3y）+16≤0是关键．