题目内容

（理）数列{a_n}中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，n∈N^*．
求证：（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n＜a_n+1；
（3） $数学公式$ ．（n≥2）
（参考公式： $数学公式$ ）

证明：（1）（2）①n=1时，a₁= $\text{[math]}$ ，
由于条件 $\text{[math]}$ ，
∴a₂=sin（ $\text{[math]}$ a₁）=sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故结论成立．
②假设n=k时结论成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
则0＜ $\text{[math]}$ a_k＜ $\text{[math]}$ a_k+1＜ $\text{[math]}$ ．
∴0＜sin（ $\text{[math]}$ a_k）＜sin（ $\text{[math]}$ a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
（3）∵1＜1+a_n-1＜2，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ （1+a_n-1）＜ $\text{[math]}$ ，
又a_n＜a_n+1，
∴1+a_n-1≥1+a₁，（n≥2）
∴ $\text{[math]}$ （1+a_n-1）≥ $\text{[math]}$ （1+a₁）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴1-a _n=sin $\text{[math]}$ -sin（ $\text{[math]}$ a _n-1）=2cos[ $\text{[math]}$ （1+a _n-1）]sin[ $\text{[math]}$ （1-a _n-1）]＜sin[ $\text{[math]}$ （1-a _n-1）]
∵0＜[ $\text{[math]}$ （1-a_n-1）]＜ $\text{[math]}$ ，又θ是锐角时，sinθ＜θ，
∴sin[ $\text{[math]}$ （1-a _n-1）]＜ $\text{[math]}$ （1-a_n-1）
∴ $\text{[math]}$ ．（n≥2）．
分析：（1）、（2）前两小问可一起进行证明．先看当n=1时，可求得a₂，则可验证结论成立；假设n=k时结论成立，根据0＜a_k＜a_k+1＜1，推断出0＜ $\text{[math]}$ a_k＜ $\text{[math]}$ a_k+1＜ $\text{[math]}$ ．进而可知0＜sin（ $\text{[math]}$ a_k）＜sin（ $\text{[math]}$ a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，结论成立，最后综合可知（1）（2）成立．
（3）由于1＜1+a_n-1＜2，结合（1）（2）中的结论得出 $\text{[math]}$ （1+a₁）的取值范围，从而1-a _n=sin $\text{[math]}$ -sin（ $\text{[math]}$ a _n-1）=2cos[ $\text{[math]}$ （1+a _n-1）]sin[ $\text{[math]}$ （1-a _n-1）]＜sin[ $\text{[math]}$ （1-a _n-1）]，根据0＜[ $\text{[math]}$ （1-a_n-1）]＜ $\text{[math]}$ ，结合三角函数的性质sinθ＜θ即可证得结论．
点评：本题主要考查了数列递推式、数列与不等式的综合、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．