题目内容

（理）已知正数列{an}中，对任意的正整数n，都（n+1）an2-anan+12=nan+12成立，且a1=2，则极限
lim
n→∞
an
3n+1
=
 
．
分析：根据nan+12=（n+1）an2+anan+1，得到
an+1
an
=
n+1
n
，利用累乘法即可求得该数列的通项公式，根据极限的求法即可求得结果．
解答：解：∵nan+12=（n+1）an2+anan+1
即[（n+1）an-nan+1]（an+an+1）=0
∴（n+1）an-nan+1=0 或an+an+1=0
又∵数列{an}各项均为正数
∴
an+1
an
=
n+1
n
，
∴
a2
a1
=
2
1
，
a3
a2
=
3
2
，
a4
a3
=
4
3
…
an
an-1
=
n
n-1

∴
an
a1
=
n
1
，∴an=2n，
∴极限
lim
n→∞
an
3n+1
=
lim
n→∞
2n  
3n+1
=
2
3
点评：本题考查根据递推关系求数列通项公式的方法，对于此种类型的题目首先化简递推式，推导出相邻两项的关系是解题的关键，考查运算能力，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
（理）已知以a为首项的数列{an}满足：an+1=
an-3，an＞3
2an，an≤3.

（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使an+k=an对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若a=
3
2m-1
（m∈N﹡），试求数列{an}的前4m+2项的和s4m+2．
（2008•杨浦区二模）（理）已知向量
a
=(x2+1，-x)，
b
=(1，2
n2+1
) （n为正整数），函数f(x)=
a 
• 
b 
，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
lim
n→∞
Sn；
（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．
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a
=(x2+1，-x)，
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n2+1
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• 
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（理）已知以a为首项的数列{an}满足：
（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使an+k=an对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若（m∈N﹡），试求数列{an}的前4m+2项的和s4m+2．
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（2）若a，k∈N﹡，求使an+k=an对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若（m∈N﹡），试求数列{an}的前4m+2项的和s4m+2．

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