题目内容
（理）等差数列{an}中，首项a1=1，公差d≠0，已知数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…成等比数列，其中k1=1，k2=2，k3=5．
（1）求数列{an}，{kn}的通项公式；
（2）当n∈N+，n≥2时，求证：
+
+
+…+
＜
．
（1）求数列{an}，{kn}的通项公式；
（2）当n∈N+，n≥2时，求证：
| a2 |
| 2k2-2 |
| a3 |
| 2k3-2 |
| a4 |
| 2k4-2 |
| an |
| 2kn-2 |
| 8 |
| 3 |
分析：（1）由题意可得a22=a1•a5，从而可求d=2，故可求an=2n-1，从而akn=2kn-1，又等比数列中，公比a=
=3，所以 akn=3n-1，故可求{kn}的通项公式；
（2）先考虑通式：
=
(m∈N+，m≥2)，可得m=2时，
=3，m≥3时，
＜
，再采用错位相减法即可求和证得．
| a2 |
| a1 |
（2）先考虑通式：
| am |
| 2km-2 |
| 2m-1 |
| 3m-1-1 |
| 2m-1 |
| 3m-1-12 |
| 2m-1 |
| 3m-1-1 |
| 2m |
| 3m-1 |
解答：解：（1）a22=a1•a5⇒（1+d）2=1•（1+4d）⇒d=2，∴an=2n-1，
∴akn=2kn-1，
又等比数列中，公比a=
=3，所以 akn=3n-1，
∴2kn-1=3n-1⇒kn=
…（6分）
证明：（2）
=
(m∈N+，m≥2)，
m=2时，
=3，m≥3时，∵3m-1＞2m，∴
＜
，…（9分）
记Sn=
+
+
+…+
，则
Sn=
+
+
+…+
，
相减得到：
Sn=
+
+
+…+
-
=
+
-
，
所以Sn=1+
-
-
＜
…（13分）
所以
+
+
+…+
＜
+
+
+
+…+
＜
+
=
．…（14分）
∴akn=2kn-1，
又等比数列中，公比a=
| a2 |
| a1 |
∴2kn-1=3n-1⇒kn=
| 3n-1+1 |
| 2 |
证明：（2）
| am |
| 2km-2 |
| 2m-1 |
| 3m-1-1 |
m=2时，
| 2m-1 |
| 3m-1-12 |
| 2m-1 |
| 3m-1-1 |
| 2m |
| 3m-1 |
记Sn=
| 6 |
| 32 |
| 8 |
| 33 |
| 10 |
| 34 |
| 2 |
| 3n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 6 |
| 33 |
| 8 |
| 34 |
| 10 |
| 35 |
| 2n |
| 3n |
相减得到：
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 33 |
| 2 |
| 34 |
| 2 |
| 3n-1 |
| 2n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
| ||||
1-
|
| 2n |
| 3n |
所以Sn=1+
| 1 |
| 6 |
| 3 |
| 2•3n-1 |
| n |
| 3n-1 |
| 7 |
| 6 |
所以
| a2 |
| 2k2-2 |
| a3 |
| 2k3-2 |
| a4 |
| 2k4-2 |
| an |
| 2kn-2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 32 |
| 8 |
| 33 |
| 10 |
| 34 |
| 2n |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 7 |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题以数列为载体，综合考查等差数列与等比数列，考查放缩法的运用，考查数列与不等式，综合性强．
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口算题卡加应用题集训系列答案
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成等比数列，其中k1=1，k2=2，k3=5．
．