Question

在数列{a_n}中，如果对任意的n∈N^*，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是

①④

．
①若数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{a_n}满足an=(n-1)•2n-1，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{a_n}满足：an+1=an2+2an，a₁=2，则此数列的通项为an=32n-1-1，且{a_n}不是比等差数列；
（理）④数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

(n≥2，n∈N*)，则此数列的通项为a_n=

n•3n

3n-1

，且{a_n}不是比等差数列．

Answer 1

分析：根据比等差数列的定义

an+2

an+1

-

an+1

an

=λ（λ为常数），逐一判断①～④中的四个数列是否是比等差数列，即可得到答案．

解答：解：数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F₃=2，F₄=3，F₅=5，

F3

F2

-

F2

F1

=1，

F4

F3

-

F3

F2

=-

1

2

≠1，
则该数列不是比等差数列，
故①正确；
若数列{a_n}满足an=（n-1）•2n-1，
则

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+1)•2n+1

n•2n

-

n•2n

(n-1)•2n-1

=

-2

(n-1)•n

不为定值，
即数列{a_n}不是比等差数列，
故②错误；
③当等差数列为常数列0，0，0，0，…，0时，不能成为比等差数列，
故③错误；
（文）④∵数列{a_n}满足：an+1=an2+2an，
a₁=2=321-1-1，
∴a₂=4+4=8=322-1-1，
a₃=64+16=80=3 23-1-1．
由此猜想an=32n-1-1．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2=321-1-1，成立．
②假设当n=k时成立，即ak=32k-1-1，
则a_k+1=（32k-1-1）²+2（32k-1-1）
=32k-2×3 2k-1+1-2×32k-1-2
=32k-1，也成立，
∴此数列的通项为an=32n-1-1．
∴

an+2

an+1

-

an+1

an

=

32n+1-1

32n-1

-

32n-1

32n-1-1

不是常数，
故{a_n}不是比等差数列，故④正确；
（理）④∵数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

(n≥2，n∈N*)，
∴a₁=

3

2

=

1•31

31-1

，
a₂=

3×2× 3 2

2× 3 2 +2-1

=

9

4

=

2×32

32-1

，
a3 =

3×3× 9 4

2× 9 4 +3-1

=

81

26

=

3×33

33-1

．
由此猜想a_n=

n•3n

3n-1

．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=

3

2

=

1•31

31-1

，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=

k•3k

3k-1

，
则a_k+1=

3(k+1)• k•3k 3k-1

2• k•3k 3k-1 +k+1-1

=

(k+1)•3k+1

3k+1-1

，也成立．
故此数列的通项为a_n=

n•3n

3n-1

，
∴

an+2

an+1

-

an+1

an

=

(n+2)•3n+2 3n+2-1

(n+1)•3n+1 3n+1-1

-

(n+1)•3n+1 3n+1-1

n•3n 3n-1

不是常数，
故{a_n}不是比等差数列，故④正确；
故答案为：①④．

点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．