Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上， ,过点的直线与椭圆分别交于两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若的面积为为坐标原点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.（2）或.

【解析】试题分析: （1）根据点在椭圆上, 以及,计算出椭圆的方程和离心率; （2）分别讨论直线与轴垂直时和直线与轴不垂直时两类情况, 当直线与轴不垂直时,联立直线和椭圆方程,根据三角形的面积,化简成关于k的方程,解出k值,进而求得直线的方程.

试题解析:解：（1）由题意得，解得，

故所求椭圆的方程为，离心率为.

（2）当直线与轴垂直时， ，此时不符合题意，舍去；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

由 ，消去得： ，

设，则，

所以

,

原点到直线的距离为，

所以三角形的面积 ，

由，得，故，

所以直线的方程为或.