Question

如图所示，求抛物线y²=2px（p＞0）和过它上面的点P1(

p

2

，p)的切线的垂线所围成的平面图形的面积．

Answer 1

分析：解出y，求出y′把P₁坐标代入求出切线的斜率写出切线的方程，与抛物线方程y²=2px（p＞0）联立得到y的值，然后利用定积分求出面积即可．

解答：解：由题意令y=

2px

(x≥0)，y′=

1

2

•

1

2px

•2p=

p

2px

，y′|x=

p

2

=1，
所以过P₁点且垂直于过P₁点的抛物线的切线的直线的斜率为-1．
其方程为y-p=-(x-

p

2

)．
即2x+2y-3p=0．
与抛物线方程联立消去x，得y²+2py-3p²=0，
解得y=p或y=-3p．
又x=-y+

3

2

p，
所以所求平面图形的面积为S=

∫

p -3p

[(-y+

3

2

p)-

y2

2p

]dy=(-

y2

2

+

3

2

py-

1

6p

y3)

|

p -3p

=[(-

1

2

p2+

3

2

p2-

1

6

p2)-(-

9

2

p2-

9

2

p2+

9

2

p2)]=

16

3

p2．

点评：考查学生求直线方程的能力，以及抛物线的运用能力，利用定积分求图形面积的能力．