Question

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），

AC

•

BD

=0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为锐角．
（1）求抛物线Γ方程；
（2）求证：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线Γ的标准方程，由焦点坐标算出焦参数p=2，可得抛物线Γ的方程；
（2）过点A作AK⊥y轴于点K，设|AF|=m，在Rt△AFK中利用三角函数的定义算出|AK|=msinα且|FK|=mcosα，可得点A的坐标为（-msinα，1+mcosα），代入抛物线Γ的方程得到关于m、α的等式，将其看作是关于m的一元二次方程，利用求根公式加以计算可得m=

2(cosα+1)

sin2α

，即|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

成立．

解答：解：（1）设抛物线Γ的方程为x²=2py（P＞0），
∵抛物线Γ焦点为F（0，1），∴

p

2

=1，解得p=2，
因此，抛物线Γ的方程为x²=4y；
（2）过点A作AK⊥y轴于点K，设|AF|=m，
则Rt△AFK中，∠KFA=α，可得sinα=

|AK|

|AF|

，cosα=

|FK|

|AF|

，
可得|AK|=|AF|sinα=msinα，|FK|=|AF|cosα=mcosα，
由此可得点A的坐标为（-msinα，1+mcosα）
∵点A为抛物线x²=4y上的点，∴（-msinα）²=4（1+mcosα），
整理得m²sin²α-4mcosα-4=0．将其看作是关于m的一元二次方程，
解得m=

4cosα± 16cos2α +16sin2α

2sin2α

=

4cosα±4

2sin2α

=

2cosα±2

sin2α

．
∵α为锐角，可得cosα＜1，且m＞0．
∴m=

2cosα-2

sin2α

＜0不符合题意，得m=

2cosα+2

sin2α

=

2(cosα+1)

sin2α

即：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

成立．

点评：本题已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程并证明关于线段AF长的一个等式．着重考查了抛物线的标准方程、直角三角形中三角函数的定义与一元二次方程根的求法等知识，属于中档题．