Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).

(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程.

(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

思路分析：(1)掌握三角形重心公式,会把x₁+x₂,y₁+y₂用x、y的形式来表示.

(2)利用S_△AOB=|OA|·|OB|公式以及均值定理求解.

解：(1)设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则x=          ①

    ∵OA⊥OB,∴k_OA·k_OB=-1,即x₁x₂+y₁y₂=-1.                                              ②

    又点A、B在抛物线上，有y₁=x₁²,y₂=x₂²,代入②化简得x₁x₂=-1.

    ∴y==(x₁²+x₂²)

    =［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］

    =×(3x)²+=3x²+.

    ∴重心G的轨迹方程为y=2x²+.

    (2)S_△OAB=|OA||OB|

    =

    =.

    由(1)得S_△AOB=

    ≥

    =

    =×2=1.

    当且仅当x₁⁶=x₂⁶,即x₁=-x₂=-1时，等号成立.

    ∴△AOB的面积存在最小值，存在时最小值为1.

讲评：会正确设动点坐标G(x,y)，找x、y与x₁、x₂、y₁、y₂的关系，求轨迹方程，求面积的最小值问题经常和均值定理联系在一起.