题目内容
已知向量
=（x，y）与向量
=（y，2y-x）的对应关系用
=f（
）表示．
（1）证明对任意的向量
、
及常数m、n，恒有f（m
+n
）=mf（
）+nf（
）成立；
（2）设
=（1，1），
=（1，0），求向量f（
）与f（
）的坐标；
（3）求使f（
）=（p，q）（p、q为常数）的向量
的坐标．
| u |
| v |
| v |
| u |
（1）证明对任意的向量
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）设
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）求使f（
| c |
| c |
（1）设
=（x1，y1），
=（x2，y2），
∴m
+n
=（mx1+nx2，my1+ny2），
f（m
+n
）=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
又mf（
）=m（y1，2y1-x1），nf（
）=n（y2，2y2-x2），
∴mf（
）+nf（
）=（my1+ny2，（2y1-x1）m+（2y2-x2）n）
=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
∴f（m
+n
）=mf（
）+nf（
）成立．
（2）
=（1，1），∴f（
）=（1，2×1-1）=（1，1）；
=（1，0），∴f（
）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）设
=（x，y），∴f（
）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴
∴
=（2p-q，p）．
| a |
| b |
∴m
| a |
| b |
f（m
| a |
| b |
又mf（
| a |
| b |
∴mf（
| a |
| b |
=（my1+ny2，2（my1+ny2）-（mx1+nx2））．
∴f（m
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）
| a |
| a |
| b |
| b |
（3）设
| c |
| c |
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴
|
∴
| c |
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