Question

已知向量u＝(x，y)，v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)来表示.

(1)证明对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立；

(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标.

Answer 1

(1)设a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)，则ma＋nb＝(ma₁＋nb₁，ma₂＋nb₂)，所以f(ma＋nb)＝(ma₂＋nb_2,2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)，

又mf(a)＋nf(b)＝m(a_2,2a₂－a₁)＋n(b_2,2b₂－b₁)＝(ma₂＋nb_2,2ma₂＋2nb₂－ma₁－nb₁)，

所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b).

(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1).