题目内容
（本小题满分12分）
已
知椭圆
的离心率为
其左、右焦
点分别为
，点P是坐标平面内一点，且
（O为坐标原点）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）
过点
且斜率为k的动直线
交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
已
知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。（1）求椭圆C的方程；
（2）
过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。解：（1）设
则由
1分
由
得
2分
即
所以c="1 " 3分
又因为
5分
因此所求椭圆的方程为：
6分
（2）动直线的方程为：
由
得
设
则
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则
由
假设得对于任意的
恒成立，
即
解得m=1。
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）
（另解 令K＝0 代入
得m＝1 或m＝
，把其都代入
。其中m＝1时恒成立；m＝时不恒成立。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 点M的坐标为（0，1）
则由
1分由
得 2分即
所以c="1 " 3分
又因为
5分因此所求椭圆的方程为：
6分（2）动直线
的方程为：由
得 设
则
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则
由
假设得对于任意的恒成立，即
解得m=1。 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）
（另解 令K＝0 代入
得m＝1 或m＝，把其都代入。其中m＝1时恒成立；m＝时不恒成立。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点， 点M的坐标为（0，1） 略
练习册系列答案
相关题目
中，O为边
的中点，
，D、E为
，
.若以A,B为焦点，O为中心的椭圆过点D，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M
与椭圆M交于不同的两点P,Q，点P在点E, Q之
，求实数
的取值范围.
的上、下顶点分别为
是椭圆上两个不同的动点．
与
交点的轨迹C的方程；
问在y轴上是否存在定点E，使得
?若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．
与椭圆
相交于A，B两点，线段AB中点M在直线
上．
上，求椭圆的方程．
：
的一个焦点
，
（c为椭圆的半焦距）．
为直线
上一点，
为椭圆
交椭圆于点
，求
的取值范围；
的离心率为
的直线
与椭圆
+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为
的焦点在y轴上，a∈{1，2，3，4，5}，b∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数是 （ ）
的离心率为
，点
是椭圆上一定点，直线
交椭圆于不同的两点
、
.
的取值范围.