Question

已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点．
(I)求直线与交点的轨迹C的方程；
(Ⅱ)若过点F(0，2)的动直线z与曲线C交于A、B两点，问在y轴上是否存在定点E，使得?若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：设直线与的交点为，
∵是椭圆的上、下顶点，
∴…………………1分
，，
两式相乘得.………………………3分
而在椭圆（）上，
所以，即，所以.……………4分
又当时，不合题意，去掉顶点.
∴直线与的交点的轨迹的方程是；……………5分
方法二：设直线与的交点为，
∵是椭圆的上、下顶点，
∴…………………1分
∵共线，共线，
∴…………①                               
…………②…………………3分
①②得，
又∵即，
∴，即，
∴直线与的交点的轨迹的方程是；（）……………5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为，
设，， ，
由得，
.…………………6分
，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
，
又∵，∴，
∴，
即.………………………8分
将，，代入上式并整理得，…………………9分
当时，，
当时，，恒成立，
…………………11分
所以，
在轴上存在定点，使得，点的坐标为．………12分

略