Question

【题目】用反证法证明：已知a，b均为有理数，且 和 都是无理数，求证： 是无理数.

Answer 1

【答案】【解答】
证明：证法一：假设 为有理数，令 =t ，
则 ，两边平方，得 ，
∴ .
∵a ， b ， t均为有理数，∴ 也是有理数.
即 为有理数，这与已知 为无理数矛盾.
∴ 一定是无理数.
证法二：假设 为有理数，
则 .
由 a>0.b>0 ，得 .
∴ .
∵a ， b为有理数，且 为有理数，
∴ 为有理数，即 为有理数.
∴ 为有理数，即 2 为有理数.
从而 也应为有理数，这与已知 为无理数矛盾，
∴ 一定是无理数.
【解析】本题主要考查了反证法与放缩法，解决问题的关键是按反证法的步骤，即先否定结论，把假设和已知结合起来，推出矛盾，即假设不成立；结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很一般推出矛盾，从而达到证题的目的.
【考点精析】掌握反证法与放缩法是解答本题的根本，需要知道常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)．