Question

【题目】已知向量 = ， = ，且
（1）求 及| |
（2）若f（x）= ﹣2λ| |的最小值为 ，求正实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 =cos cos ﹣sin sin =cos2x，

∵ =（cos +cos ，sin ﹣sin ），

∴| |= = = =2|cosx|，

由且 ，可得| |=2cosx．

（2）解：若f（x）= ﹣2λ| |=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣4λcosx﹣1=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2 的最小值为 ，

∵ ，∴cosx∈[0，1]，

①当0≤λ≤1时，则当cosx=λ时，函数f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2=﹣ ，求得λ= ．

②当λ＞1 时，当cosx=1时，函数f（x）取得最小值为1﹣4λ=﹣ ，解得λ= （舍去），

综上可得 λ= ．

【解析】（1）根据向量的坐标运算公式即可求得 及| + |的值，（2）根据向量的坐标运算并进行化简可得f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，当f（x）的最小值为时，对λ进行分类讨论综上可得出λ的值.
【考点精析】利用三角函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．