题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 的夹角为 $数学公式$ ，试求：
（1） $数学公式$ + $数学公式$ 与 $数学公式$ - $数学公式$ 夹角的余弦值．
（2）使向量 $数学公式$ +λ $数学公式$ 与λ $数学公式$ - $数学公式$ 的夹角为钝角时，λ的取值范围．

解：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
（1）∵（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1+2×1+4=7，（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1-2×1+4=3，
∴| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的夹角为α，则
cosα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 夹角的余弦值等于- $\text{[math]}$
（2）根据题意，不存在λ值，使向量 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 与λ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的夹角为π，
∴向量 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 与λ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的夹角为钝角时，可得
（ $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ ）（λ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＜0，即λ $\text{[math]}$ +（λ²-1） $\text{[math]}$ -λ $\text{[math]}$ ＜0
将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ =1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解这个不等式，得 $\text{[math]}$ ＜λ＜ $\text{[math]}$
因此λ的取值范围是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由向量数量积公式，算出 $\text{[math]}$ =1，从而得到| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ．最后用向量的夹角公式，即可得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
（2）根据题意，得向量 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 与λ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的数量积为负数，因此计算 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ 与λ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的数量积并代入题中的数据，得到关于λ的一元二次不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．
点评：本题给出两个向量的模与夹角，求它们和向量与差向量夹角的大小，并讨论向量夹角为钝角的问题，着重考查了平面向量的数量积及其运算性质等知识，属于基础题．