Question

已知，，的夹角为，试求：
（1）+与-夹角的余弦值．
（2）使向量+λ与λ-的夹角为钝角时，λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量数量积公式，算出=1，从而得到|+|=，|-|=．最后用向量的夹角公式，即可得到+与-夹角的余弦值．
（2）根据题意，得向量+λ与λ-的数量积为负数，因此计算+λ与λ-的数量积并代入题中的数据，得到关于λ的一元二次不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．
解答：解：∵，，的夹角为，
∴==1
（1）∵（+）²=+2+=1+2×1+4=7，（-）²=-2+=1-2×1+4=3，
∴|+|=，|-|=
设+与-的夹角为α，则
cosα===-，
即+与-夹角的余弦值等于-
（2）根据题意，不存在λ值，使向量+λ与λ-的夹角为π，
∴向量+λ与λ-的夹角为钝角时，可得
（+λ）（λ-）＜0，即λ+（λ²-1）-λ＜0
将，和=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解这个不等式，得＜λ＜
因此λ的取值范围是（，）．
点评：本题给出两个向量的模与夹角，求它们和向量与差向量夹角的大小，并讨论向量夹角为钝角的问题，着重考查了平面向量的数量积及其运算性质等知识，属于基础题．