Question

四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于

3 7

8

．

Answer 1

分析：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解

解答：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF
由题意知AE⊥CD，BE⊥CD
又∵AE∩BE=E
∴CD⊥面ABE
又AB=CD=6，其余的棱长均为5
∴AD=5，DE=3
∴AE=4，同理BE=4
∴等腰△ABE底边AB上的高为EF=

AE2 - AF2

=

16-9

=

7

∴△ABE的面积S=

1

2

×6×

7

=3

7

∴三棱锥ABCD的体积V=

1

3

×S×DE+

1

3

×S×CE=

1

3

×S×CD=

1

3

×3

7

×6=6

7

又S△ACD=

1

2

×CD×AE=

1

2

×6×4=12
设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R
∴三棱锥ABCD的体积V=4VO-ACD=4×

1

3

×S△ACD×R=4×

1

3

×12×R=6

7

∴R=

3 7

8

故答案为：

3 7

8

点评：本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题