Question

本小题满分14分）

向量=,x∈.函数f(x)= -|+|

（1）若函数f(x)的最小值为-，求实数的值，并求出f(x)取最小值-时相应的值.

（2）点O为坐标原点，当f(x)取最小值-时，向量=、向量=、,若点是的重心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，  其中，，证明：；

Answer 1

（本小题满分14分）

向量a=,x∈.函数f(x)=ab-|a+b|

（1）若函数f(x)的最小值为-，求实数的值，并求出f(x)取最小值-时相应的值.

（2）点O为坐标原点，当f(x)取最小值-时，向量a=、向量b=、,若点是的重心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，  其中，，证明：；

解  （1）∵|a|=1，|b|=1，x∈，……………… 1分

∴a·b=coscos-sinsin=cos2x，……………… 3 分

|a+b|==……………… 4分

==2=2cosx. ……………… 5 分

∴f（x）=cos2x-cosx=2cos²x-cosx-1

=2--1，cosx∈［0，1］. ……………… 6 分

①当＜0时，取cosx=0,此时f(x)取得最小值，

并且f(x)_min=-1≠-,不合题意. ……………… 7分

②当0≤≤4时，取cosx=,

此时f(x）取得最小值，

并且f(x)_min=--1=-,解得=2. ……………… 8 分

③当＞4时，取cosx=1,此时f(x)取得最小值，

并且f(x)_min=1-=-,

解得=,不符合＞4舍去, ……………… 9分

∴=2且f(x)取最小值-时……………… 10分

由（1）可知A（0，-1）、B、C，易得是边长为的正三角形, …11分

如图延长AG交BC与F，G为△ABC的重心F为BC的中点，则有 ……12 分

，，

　即………………………13分

D、G、E三点共线，故  ＝3  ……………………………14分

解析法作答相应给分（解析略）www..com