Question

3．方程-x³+x²+x-2=0的根的分布情况是（　　）

• A． 一个根，在（-∞，-$\frac{1}{3}$）内
• B． 两个根，分别在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（0，+∞）内
• C． 三个根，分别在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（-$\frac{1}{3}$，0），（1，+∞）
• D． 三个根，分别在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（0，1），（1，+∞）内

Answer 1

分析 构造函数f（x）=-x³+x²+x-2，求函数的导数，判断函数的极值和单调性，利用函数极值的符号进行判断即可．

解答 解：设f（x）=-x³+x²+x-2，
则f′（x）=-3x²+2x+1=-（x-1）（3x+1），
由f′（x）＞0得-（x-1）（3x+1）＞0，即（x-1）（3x+1）＜0，
得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得，x＜-$\frac{1}{3}$或＞1，此时函数单调递减，
即当x=-$\frac{1}{3}$时，函数取得极小值，此时极小值为f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{61}{54}$＜0，
当x=1时，函数取得极大值，此时极大值为f（1）=-1＜0，
当x→-∞时，f（x）＞0，
故函数f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上只有一个零点，
即方程-x³+x²+x-2=0只有一个根，根所在的区间为（-∞，-$\frac{1}{3}$），
故选：A，

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．