Question

【题目】设曲线是焦点在轴上的椭圆，两个焦点分别是是，，且，是曲线上的任意一点，且点到两个焦点距离之和为4.

（1）求的标准方程；

（2）设的左顶点为，若直线：与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析，直线恒过定点

【解析】

（1）根据椭圆的定义得，又焦点提供出值，从而可得，最终得椭圆方程．

（2）首先明确，设，，把直线方程代入椭圆方程可得，注意，由，∴，即，代入可得关系（要满足直线与椭圆相交），把这个关系代入直线方程可得出直线所过的定点．

（1）设椭圆方程为，

由题意，即，∴，

∴椭圆的方程是.

（2）由（1）可知，设，，

联立，得，

，

即，

∴，，

又，

∵，∴，即，

即，

∴，∴，

解得，，且均满足即，

当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；

当，的方程为，直线恒过.