Question

20．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A（-1，0），B（3，0），求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质，圆的定义，即可求出直角顶点C的轨迹方程；
（2）利用代入法，求出直角边BC的中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设AB中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知，|CD|=$\frac{1}{2}$|AB|=2，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径长的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．
所以直角顶点C的轨迹方程为（x-1）²+y²=4（x≠3且x≠-1）．
（2）设点M（x，y），点C（x₀，y₀），
因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x=$\frac{{x}_{0}+3}{2}$（x≠3且x≠1），y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，
于是有x₀=2x-3，y₀=2y．
由（1）知，点C在圆（x-1）²+y²=4（x≠3且x≠-1）上运动，
将x₀，y₀代入该方程得（2x-4）²+（2y）²=4，即（x-2）²+y²=1．
因此动点M的轨迹方程为（x-2）²+y²=1（x≠3且x≠1）．

点评 本题考查圆的方程，考查代入法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．