Question

【题目】双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有（ ）

①双纽线C关于原点O中心对称； ②；

③双纽线C上满足的点P有两个； ④的最大值为.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

对①,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立；

对②,根据的面积范围证明即可.

对③,易得若则在轴上,再根据的轨迹方程求解即可.

对④,根据题中所给的定点,距离之积等于,再画图利用余弦定理分析中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.

对①,设动点,由题可得的轨迹方程,把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故①正确；

对②,因为,故.

又,所以,

即,故.故②正确；

对③, 若则在的中垂线即轴上.

故此时,代入，

可得,即,仅有一个.故③错误；

对④,因为,故,

即,

因为,

故.

即,

所以.

又,当且仅当共线时取等号.

故,

即,解得.故④正确.

故①②④正确.

故选：B