Question

已知函数f（x）=2x²+ax-1
①若函数在（-∞，1）是减函数，求a的取值范围；
②若函数f（x）是[-1，2]上的单调函数，求a的范围；
③若函数有两个零点，其中一个在（-1，1）上，另一个在（1，2）上，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①由二次函数f（x）的图象与性质知，当区间在对称轴的左侧时是减函数，从而求出a的取值范围；
②当区间在函数图象对称轴的一侧时，f（x）是单调函数，从而求出a的取值范围；
③二次函数图象与根的存在性定理知

f(1)＜0 f(-1)＞0 f(2)＞0

时，满足题意，求出a的取值范围．

解答： 解：①∵f（x）=2x²+ax-1图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=-

a

4

，当-

a

4

＞1，
即a＜-4时，f（x）在（-∞，1）是减函数；
∴a的取值范围是{a|a＜-4}．．
②当f（x）是[-1，2]上的单调函数时，区间[-1，2]在函数图象对称轴x=-

a

4

的一侧，
∴-

a

4

＜-1，或-

a

4

＞2，
解得a＞4，或a＜-8；
∴a的取值范围是{a|a＞4，或a＜-8}
③由题意，知

f(1)＜0 f(-1)＞0 f(2)＞0

，即

1+a＜0 1-a＞0 7+2a＞0

，
解得-

7

2

＜a＜-1，
∴a的取值范围是{a|-

7

2

＜a＜-1}．

点评：本题考查了一元二次函数的性质与应用问题，是基础题．