Question

16．四面体D-ABC中，AB=BC，在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN．
（1）求证：MN∥面DAB；
（2）平面ACD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）连接MN，由已知可得MN∥AD，再由线面平行的判定可得MN∥平面ABD；
（2）AN⊥DM，AN⊥DB，由线面垂直的判定可得AN⊥平面BDM，得到AN⊥BM，在△ABC中，再由已知可得AC⊥BM．由线面垂直的判定可得BM⊥平面ACD，进一步得到平面ACD⊥平面ABC．

解答 证明：（1）连接MN，∵CN=ND，CM=MA，∴MN∥AD，
∵MN?平面ABD，AD?平面ABD，∴MN∥平面ABD；
（2）∵AN⊥DM，AN⊥DB，且DB∩DM=D，
∴AN⊥平面BDM，
∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM，
又∵△ABC中，AB=BC，且M为AC的中点，∴AC⊥BM．
∵AN，AC时平面ACD内的两条相交直线，
∴BM⊥平面ACD，
∵BM?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．