Question

18．如图．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁上的点，G，H分别是BC，CD上的点．
（1）若EF分别是B₁C₁，C₁D₁的中点，证明：四边形BEFD为等腰梯形；
（2）若C₁E=CG，C₁F=CH，证明：四边形EFHG为矩形；
（3）该长方体的三个面的对角线长分别为a，b，c，求长方体对角线AC₁的长．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理可得EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁D₁，而B₁D₁=BD，推出四边形BEFD为梯形，再由三角形全都得出两腰相等；
（2）由C₁E=CG，C₁E∥CG，可证四边形C₁CGE是矩形，于是EG$\underset{∥}{=}$C₁C，同理：FH$\underset{∥}{=}$C₁C，则四边形EFHG为平行四边形，由C₁C⊥平面ABCD可得C₁C⊥HG，故EG⊥HG，得出结论；
（3）设出长方体的三边长，列出方程组解出．

解答 证明：（1）连结B₁D₁，则EF是△C₁D₁B₁的中位线，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$B₁D₁，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴B₁D₁=BD，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∴四边形BEFD为梯形，
∵D₁F=B₁E，D₁D=B₁B，∠DD₁F=∠BB₁E=90°，
∴△DD₁F≌△BB₁E，∴DF=BE．
∴四边形BEFD为等腰梯形．
（2）∵C₁C⊥平面ABCD，HG?平面ABCD，
∴C₁C⊥HG，
∵C₁E=CG，C₁E∥CG，∠C₁CG=90°，
∴四边形C₁CGE是矩形，
∴EG$\underset{∥}{=}$C₁C，同理：FH$\underset{∥}{=}$C₁C，
∴EG⊥HG，
∴四边形EFHG为矩形．
（3）设长方体过一个顶点的三条棱长分别为x，y，z，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\\{{x}^{2}+{z}^{2}={b}^{2}}\\{{y}^{2}+{z}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}}\\{{y}^{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}}\\{{z}^{2}=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴长方体对角线AC₁=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}}$．

点评 本题考查了直棱柱的结构特征，寻找平行与垂直关系是关键．