Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）增区间是和，减区间是（2）

【解析】

（1）由，求导.再令求解.

（2），.当时，，易证只有一个零点.当时， 易证极小值.又，根据零点存在定理，使.当时， .取，则，则由，又存在一个零点.当时，由，得或.分，，讨论.

（1）因为，

所以，

.

令，解得或.

函数的增区间是和，减区间是.

（2），.

当时，，只有1个零点，不合题意.

当时，.

时，，为减函数；

时，，为增函数，

极小值.

又，

当时，，使.

当时，，，

.

取，则，

，

函数有2个零点.

当时，由，得或.

①当，即时，

由，得或，

在和递增，

在递减.

极大值.

函数至多有1个零点，不符合题意；

②当，即时，在单调递增，

至多有1个零点，不合题意；

③当，即时，

由，得或，

在和递增，在递减.

，时，，

.

又，函数至多有1个零点，不合题意.

综上，的取值范围是.