Question

 设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1且斜率为1的直线l与椭圆E相交于A,B两点,且AF2,AB,BF2成等差数列.

(1) 求椭圆E的离心率;

(2) 设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆E的方程.

Answer 1

 (1) 由椭圆定义知AF2+BF2+AB=4a,又由题意知2AB=AF2+BF2,

得AB=a.设l的方程为y=x+c,其中c=.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组

化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0

则x1+x2=,x1x2=.

因为直线AB斜率为1,所以AB=|x2-x1|=,　

得a=,故a2=2b2,

所以E的离心率e===.

(2) 设AB的中点为N(x0,y0),由(1)知

x0===-c,y0=x0+c=.

由PA=PB,得kPN=-1,即=-1,解得c=3,从而a=3, b=3.

故椭圆E的方程为+=1.