Question

【题目】已知函数，其中.

（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.

①求实数的取值范围；

②求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②证明见解析；

【解析】

（1）由函数导数求得切线斜率，利用两直线垂直斜率乘积为-1列方程求解即可；

（2）①函数在定义域上有两个极值点等价于在上有两个不相等的根.解不等式组即得解；

②先化简得到，再构造，其中.再利用导数证明，即得证.

（1）依题意，，，

故，所以，

据题意可知，，解得.

所以实数的值为2.

（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，且，

所以在上有两个根，且，

即在上有两个不相等的根.

所以解得.

当时，若或，，，

函数在和上单调递增；

若，，，

函数在上单调递减，

故函数在上有两个极值点，且，.

所以，实数的取值范围是.

②由①可知，是方程的两个不等的实根，

所以其中..

故

，

令，其中.

故，

令，

，在上单调递增.

由于，，

所以存在常数，使得，即，，

且当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以当时，

，

又，，

所以，即，

故得证.